\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{2024级数学与应用数学1班}
\title{常微分方程实际案例复习题解答}
\date{2025年11月18日}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}[label=\textbf{问题 \arabic*.}, wide=0pt, leftmargin=*]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textbf{探照灯镜面设计}：探照灯要求光源位于焦点处时反射光线平行于主轴。设镜面为旋转曲面，母线为 $y = y(x)$，利用几何光学原理（入射角等于反射角）推导出满足该条件的曲线所满足的一阶常微分方程，并指出该曲线为何种圆锥曲线。

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
    \item 设光源位于原点 $O(0,0)$，曲线上任意一点为 $P(x,y)$，切线斜率为 $\frac{dy}{dx}$。由光学原理，从光源发出的光线经 $P$ 点反射后平行于 $x$ 轴。
    \item 设入射光线 $OP$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $\alpha$，切线与 $x$ 轴正向的夹角为 $\beta$，则 $\tan\alpha = \frac{y}{x}$，$\tan\beta = \frac{dy}{dx}$。
    \item 由反射定律，入射角等于反射角。法线平分入射光线 $OP$ 和反射光线（平行于 $x$ 轴）的夹角，这意味着入射光线与切线的夹角等于反射光线与切线的夹角。
    \item 设入射光线与切线的夹角为 $\theta_1 = |\alpha - \beta|$，反射光线与切线的夹角为 $\theta_2 = |\beta - 0| = |\beta|$。由反射定律，$\theta_1 = \theta_2$。
    \item 由于几何关系，我们有 $|\alpha - \beta| = |\beta|$，即 $\alpha - \beta = \pm \beta$，所以 $\alpha = 2\beta$ 或 $\alpha = 0$（舍去，除非 $P$ 在 $x$ 轴上）。
    \item 因此 $\tan\alpha = \tan(2\beta)$，即 $\frac{y}{x} = \tan(2\beta) = \frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} = \frac{2\frac{dy}{dx}}{1-(\frac{dy}{dx})^2}$。
    \item 整理得：$\frac{y}{x} = \frac{2\frac{dy}{dx}}{1-(\frac{dy}{dx})^2}$，即 $y(1-(\frac{dy}{dx})^2) = 2x\frac{dy}{dx}$。
    \item 展开得：$y - y(\frac{dy}{dx})^2 = 2x\frac{dy}{dx}$，即 $y = 2x\frac{dy}{dx} + y(\frac{dy}{dx})^2$。
    \item 移项得：$y - 2x\frac{dy}{dx} = y(\frac{dy}{dx})^2$，即 $\frac{y - 2x\frac{dy}{dx}}{y} = (\frac{dy}{dx})^2$。
    \item 交叉相乘：$y - 2x\frac{dy}{dx} = y(\frac{dy}{dx})^2$。
    \item 重新整理：$y = 2x\frac{dy}{dx} + y(\frac{dy}{dx})^2$，即 $y(1-(\frac{dy}{dx})^2) = 2x\frac{dy}{dx}$。
    \item 最终得到：$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2-y^2}{2xy}$。这就是探照灯镜面母线所满足的一阶常微分方程。
    \item 该曲线为抛物线。可通过解此微分方程验证，其解为 $y^2 = 4p(x+c)$ 形式，这是抛物线的标准方程。

\end{enumerate}

}

\end{enumerate}

\end{document}